Wzór sekwencji Fibonacciego: jak znaleźć liczby Fibonacciegoci

Ciąg Fibonacciego to wzór liczb, który powtarza się w naturze.

Przejdź do sekcji

• Co to jest ciąg Fibonacciego?
• Pochodzenie ciągu Fibonacciego
• Formuła liczb Fibonacciego
• Ciąg Fibonacciego i złoty podział
• Sekwencja Fibonacciego w przyrodzie
• Ucz się więcej
• Dowiedz się więcej o zajęciach MasterClass Neila deGrasse Tysona

Znany astrofizyk Neil deGrasse Tyson uczy, jak znajdować obiektywne prawdy i dzieli się swoimi narzędziami do komunikowania tego, co odkrywasz.

Co to jest ciąg Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego jest jednym z najbardziej znanych wzorów w teorii liczb i jednym z najprostszych ciągów całkowitych zdefiniowanych przez liniową relację rekurencyjną. W ciągu liczb Fibonacciego każda liczba w ciągu jest sumą dwóch liczb przed nią, z 0 i 1 jako dwiema pierwszymi liczbami. Szereg liczb Fibonacciego zaczyna się następująco: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 i tak dalej. Sekwencja Fibonacciego jest przydatna do zastosowań w zaawansowanej matematyce i statystyce, informatyce, ekonomii i przyrodzie.

ile uncji w butelce

Pochodzenie ciągu Fibonacciego

Sekwencja Fibonacciego pojawia się po raz pierwszy w starożytnych tekstach sanskryckich już w 200 rpne, ale nie była powszechnie znana w świecie zachodnim aż do 1202 roku, kiedy włoski matematyk Leonardo Pisano Bogollo opublikował ją w swojej księdze obliczeń zatytułowanej Liber Abaci . Leonardo używał również pseudonimu Leonardo z Pizy, ale dopiero w 1838 r. historycy nadali mu przydomek Fibonacci (w tłumaczeniu z grubsza „syn Bonacciego”). Oprócz popularyzacji ciągu Fibonacciego książka Fibonacciego Liber Abaci opowiadał się za używaniem cyfr hindusko-arabskich (1, 2, 3, 4 itd.) i pomógł zastąpić system cyfr rzymskich (I, II, III, IV itd.) w całej Europie.

W Liber Abaci , sekwencja Fibonacciego została w rzeczywistości użyta do rozwiązania hipotetycznego problemu matematycznego dotyczącego wzrostu populacji królików: jeśli pojedyncza para królików kojarzy się pod koniec każdego miesiąca, a następnie rodzi nową parę królików miesiąc po skojarzeniu i wszystkie nowe pary króliki postępują według tego samego wzoru, ile par lub królików będzie istniało w ciągu jednego roku? Oto, jak możesz zacząć odpowiadać na ten problem:

• Zaczynać się 1 para królików.
• Pod koniec pierwszego miesiąca nadal pozostaje tylko 1 para królików, odkąd się połączyły, ale jeszcze nie urodziły.
• Pod koniec drugiego miesiąca są dwa Pary królików od pierwszej pary urodziły teraz drugą parę.
• Pod koniec trzeciego miesiąca są 3 pary królików. Dzieje się tak dlatego, że pierwsza para urodziła trzecią parę, ale druga para tylko się pokryła.
• Pod koniec czwartego miesiąca są teraz 5 pary królików. Dzieje się tak, ponieważ pierwsza para urodziła kolejną parę, a druga para urodziła teraz swoją pierwszą parę.

Jak widać, ten wzór 1, 1, 2, 3, 5 jest zgodny z ciągiem Fibonacciego. Jeśli będziesz kontynuować przez 12 miesięcy, liczba par wyniesie 144.

Formuła liczb Fibonacciego

Aby obliczyć każdą kolejną liczbę Fibonacciego w szeregu Fibonacciego, użyj wzoru

gdzie 𝐹 jest 𝑛tą liczbą Fibonacciego w ciągu, a dwie pierwsze liczby, 𝐹0 i 𝐹1 , są ustawione odpowiednio na 0 i 1.

Jedynym problemem związanym z tą formułą jest to, że jest to formuła rekurencyjna, co oznacza, że ​​definiuje każdą liczbę w sekwencji przy użyciu poprzednich liczb. Więc jeśli chcesz obliczyć dziesiątą liczbę w ciągu Fibonacciego, musiałbyś najpierw obliczyć dziewiątą i ósmą, ale aby otrzymać dziewiątą liczbę, potrzebowałbyś ósmej i siódmej i tak dalej.

Aby znaleźć dowolną liczbę w ciągu Fibonacciego bez żadnej z poprzednich liczb, możesz użyć wyrażenia w formie zamkniętej zwanego wzorem Bineta:

We wzorze Bineta grecka litera phi (φ) reprezentuje liczbę niewymierną zwaną złotym podziałem: (1 + √ 5)/2, która po zaokrągleniu do najbliższej tysięcznej miejsca wynosi 1,618.

Ciąg Fibonacciego i złoty podział

Złoty podział (lub złoty odcinek) to liczba niewymierna, która powstaje, gdy stosunek dwóch liczb jest taki sam, jak stosunek ich sumy do większej z tych dwóch liczb. Ciąg Fibonacciego jest ściśle związany ze złotym podziałem, ponieważ wraz ze wzrostem liczb Fibonacciego stosunek dowolnych dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbliża się coraz bardziej do złotego podziału.

MasterClass

Sugerowane dla Ciebie

Zajęcia online prowadzone przez największe umysły świata. Poszerz swoją wiedzę w tych kategoriach.

Uczy myślenia naukowego i komunikacji

Uczy Konserwacji

Uczy eksploracji kosmosu

Uczy nauki o lepszym śnie

5 pintów to ile filiżanek

Sekwencja Fibonacciego w przyrodzie

Myśl jak profesjonalista

Znany astrofizyk Neil deGrasse Tyson uczy, jak znajdować obiektywne prawdy i dzieli się swoimi narzędziami do komunikowania tego, co odkrywasz.

Istnieje wiele dezinformacji na temat tego, gdzie można znaleźć ciąg Fibonacciego i złoty podział w prawdziwym świecie; wbrew temu, co można przeczytać, złoty podział nie został użyty do budowy piramid w Gizie, a muszla łodzika nie wyhoduje nowych komórek w oparciu o ciąg Fibonacciego.

Ale te matematyczne właściwości za ciągiem Fibonacciego i złotym podziałem pojawiają się w przyrodzie na wiele sposobów. Na przykład złoty podział można znaleźć w spiralnym ułożeniu liści (nazywanym filotaksją) na niektórych roślinach lub w złotym spiralnym wzorze szyszek, kalafiora, ananasów i ułożeniu nasion słonecznika. Dodatkowo liczba płatków na kwiatku jest zazwyczaj liczbą Fibonacciego.

Co więcej, drzewo genealogiczne trutnia pszczoły miodnej jest zgodne z ciągiem Fibonacciego. Dzieje się tak dlatego, że samiec trutnia wykluwa się z niezapłodnionego jaja i ma tylko jednego rodzica, podczas gdy samice pszczół mają dwoje rodziców. W rezultacie drzewo genealogiczne drona składa się z jednego rodzica, dwóch dziadków, trzech pradziadków, pięciu prapradziadków i tak dalej w całej sekwencji Fibonacciego.

Ucz się więcej

Uzyskać Roczne członkostwo MasterClass wyłączny dostęp do lekcji wideo prowadzonych przez luminarzy biznesu i nauki, w tym Neila deGrasse Tysona, Chrisa Hadfielda, Jane Goodall i innych.